MATEMÁTICA 1 - MÓDULO 1,2,3- Conjuntos Numéricos

CONJUNTOS NÚMERICOS

Podemos caracterizar um conjunto como sendo uma reunião de elementos que possuem características semelhantes. Caso esses elementos sejam números, temos então a representação dos conjuntos numéricos. Quando esse conjunto é representado por extenso, escrevemos os números entre chaves { }, se o conjunto for infinito irá possuir incontáveis números.

Para representar essa situação devemos utilizar reticências, ou seja, três pontinhos. Existem cinco conjuntos numéricos que são considerados fundamentais, por serem os mais utilizados em problemas e questões relacionados à matemática. Acompanhem a seguir a representação desses conjuntos:

Conjunto dos Números Naturais

Esse conjunto é representado pela letra maiúscula N, sendo formado por todos os números inteiros positivos incluindo o zero. A seguir acompanhe a notação da representação simbólica e um exemplo numérico.

·         Representação simbólica: N = {x є N/ x > 0}

·         Exemplo: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …}

Caso esse conjunto não possua o elemento zero, será chamado de conjunto dos números naturais não nulos, sendo representado por N*. Veja a sua representação simbólica e um exemplo numérico:

·         Representação simbólica: N* = {x є N/ x ≠ 0}

·         Exemplo: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …}

Conjunto dos Números Inteiros

Representamos esse conjunto com a letra maiúscula Z, ele é formado pelos números inteiros negativos, positivos e o zero. Logo a seguir temos um exemplo numérico.

Exemplo: Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}

O conjunto dos números Inteiros possui alguns subconjuntos, os quais estão listados a seguir:

Inteiros não negativos: Representado por Z₊, pertencem a esse subconjunto todos os números inteiros que não são negativos, podemos considera-lo como sendo igual ao conjunto dos números naturais.

Exemplo: Z_+ ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ,8, …}

Inteiros não positivos: Esse subconjunto é representado por Z-, sendo composto por números inteiros negativos.

Exemplo: Z- ₌{…, – 4, – 3, – 2, – 1, 0}

Inteiros não negativos e não nulos: Representado por Z*_+, todos os elementos desse subconjunto são números positivos. À exclusão do número zero é representada pelo asterisco, com isso o zero não faz parte do subconjunto.

Exemplo: Z*₊= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 …}

Inteiros não positivos e não nulos: Esse conjunto é representado pela notação Z*- , sendo formado pelos número inteiros negativos, possuindo a exclusão do zero.

Exemplo: Z*–= {… – 5,- 4, – 3, – 2, – 1}

Conjunto dos Números Racionais

Esse conjunto é representado pela letra maiúscula Q, sendo formado pela reunião dos conjuntos referentes aos números naturais e inteiros, portanto o conjunto N (naturais) e o Z (inteiros) estão inclusos no conjunto Q (racionais). Os termos numéricos que compõem o conjunto dos números racionais são: os números inteiros positivos e negativos, números decimais, números fracionários e dízima periódica. Acompanhe a seguir a representação simbólica desse conjunto e um exemplo numérico.

Representação simbólica: Q = {x = , com a є Z e b є z*}

Descrição: A representação simbólica indica que todo o número racional é obtido de uma divisão com números inteiros, em que o denominador no caso b deve ser diferente de zero.

Exemplo: Q = {… – 2; – 1; 0; + ; + 1; +2, 14; + 4; + 4,555…}

Classificando os elementos do conjunto Q:

·         {+ 1, + 4} à Números naturais.

·         {- 2, -1, 0, + 1, + 4} à Números inteiros.

·         {+ } à Fração.

·         {+ 2,14) à Número decimal.

·         {+ 4,555…} à Dízima periódica.

O conjunto dos números racionais também possuem subconjuntos, são eles:

Racionais não negativos: Representado por Q _+, esse conjunto possui o número zero e todos os termos numéricos racionais positivos.

Exemplo: Q ₊= { 0, + , + 1, +2, 14, + 4, 3, 4,555…}

Racionais não negativos não nulos: Esse conjunto é representado por Q *_+. É formado por todos os números racionais positivos, sendo que o zero não pertence ao conjunto.

Exemplo: Q *_+. = { + , + 1, +2, 14, + 4, 3, 4,555…}

Racionais não positivos: Representamos esse conjunto pelo símbolo Q -, pertencem a esse conjunto todos os números racionais negativos e o zero.

Exemplo: Q – = {…- 2, – 1, 0}

Racionais não positivos não nulo: Para representar esse conjunto utilizamos a notação Z*– . Esse conjunto é composto por todos os números racionais negativos, sendo que o zero não pertence ao conjunto.

Exemplo: Q – = {…- 2, – 1}

Conjunto dos Números Irracionais

Esse conjunto é representado pela letra maiúscula I, é formado pelos números decimais infinitos não periódicos, ou seja, números que possui muitas casas decimais, mas que não tem um período. Entenda período como sendo a repetição de uma mesma sequencia de números infinitamente.

Exemplos:

O número PI que é igual a 3,14159265…,

Raízes não exatas como: = 1,4142135…

Conjunto dos Números Reais

Representado pela letra maiúscula R, compõem esse conjunto os números: naturais, inteiros, racionais e irracionais. Acompanhe o exemplo numérico a seguir:

Exemplo: R = {… – 3,5679…; – 2; – 1; 0; + + 1; +2, 14; + 4; 4,555…; + 5; 6,12398…}

Classificando os elementos do conjunto Q:

·         {0, + 1, + 4} à números naturais.

·         {- 2, -1, 0, + 1, + 4, + 5} à Números inteiros.

·         {+ } à fração.

·         {+ 2,14) à número decimal.

·         {+ 4,555…} à dízima periódica.

·         {– 3,5679…; 6,12398…} à números irracionais.

O conjunto dos números reais pode ser representado por diagramas, nele fica claro a relação de inclusão em relação aos conjuntos dos números: naturais, inteiros, racionais e irracionais. Acompanhe a seguir a representação do diagrama de inclusão dos números reais.

    CARACTERÍSTICAS DOS NÚMEROS NATURAIS:

.    O conjunto dos números naturais é infinito, pois todo número natural possui um  sucessor.

               Se n é um número natural, então n+1 são números consecutivos.

        Todo número natural diferente de zero possui um antecessor.

       O menor número natural é o zero, mas não existe maior número natural.

CARACTERÍSTICAS DOS NÚMEROS INTEIROS:

     O conjunto dos múmeros inteiros é infinito, pois todo número inteiro possui um sucessor e um antecessor.

          Se x é um número inteiro, então x+x+1  são números consecutivos( 1+1=2+1=3).

       O conjunto dos números inteiros não possui menor nem maior elemento.

        Se x é um número inteiro, então –x é o oposto ou simétrico desse número.

CARACTERÍSTICAS DOS NÚMEROS RACIONAIS:

 Se m/n é um número racional, então -m/n é o oposto ou simétrico desse número, sendo n diferente de 0.

   Um número inteiro é também um número racional. Em geral, os números inteiros podem assumir a forma  p/q , em que p pertence a  Z*, q pertence a Z* e p   é múltiplo de q.( 7 é um número racional, pois 7 = 7/1)

     Um número racional também pode possuir representação decimal finita ou infinita e periódica. ( Representação decimal finita: 8/10 = 0,8;3/4=0,75;156/100=1,56;86/25=3,44 e Representação decimal infinita e periódica: 4/9=0,444...;8/15=0,5333...;56/33=1,696969...)

CARACTERÍSTICAS DOS NÚMEROS IRRACIONAIS:

  Não é possível escrever números irracionais na forma fracionária, ou seja, com  numerador e denominador inteiros.(√3= 1,7320508;√17= 4,1231056...)

          Alguns números irracionais são identificados com símbolos específicos.( )

Essa foi a matéria, no vídeo de amanhã explicará as propriedades dos números reais e os conjuntos numéricos. Beijinhos, espero que tenham gostado.