MATEMÁTICA 2 - MÓDULO 2 - Ângulos

ÂNGULOS

Ângulo é a reunião de dois segmentos de reta orientados (ou duas semi-retas orientadas) a partir de um ponto comum.

A interseção entre os dois segmentos (ou semi-retas) é denominada vértice do ângulo e os lados do ângulo são os dois segmentos (ou semi-retas).

Podem ser usadas três letras, por exemplo ABC para representar um ângulo, sendo que a letra do meio B representa o vértice, a primeira letra A representa um ponto do primeiro segmento de reta (ou semi-reta) e a terceira letra C representa um ponto do segundo segmento de reta (ou semi-reta).

Usamos a notação < para um ângulo, como por exemplo: <ABC.

Um ângulo pode ser orientado da seguinte forma. Centramos um compasso no vértice O do ângulo e com uma certa abertura positiva (raio) traçamos um arco de circunferência a partir de um ponto A localizado em um dos segmentos (ou semi-retas) até que este arco toque o outro segmento de reta (ou semi-reta) em um ponto B.

Quando não houver dúvida ou necessidade de orientação, podemos indicar o ângulo simplesmente pela letra que representa o vértice, como por exemplo: Ô. Uma outra notação para ângulo é AÔB, sendo O o vértice do mesmo e as letras A e B localizadas nos lados do ângulo.

Ângulos consecutivos e adjacentes

Ângulos consecutivos: Dois ângulos são consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um dos lados do outro ângulo.

AÔC e BÔC são consecutivos OC é o lado comum	AÔB e BÔC são consecutivos OB é o lado comum	AÔB e AÔC são consecutivos OA é o lado comum

Ângulos adjacentes: Dois ângulos consecutivos são adjacentes se, não têm pontos internos comuns. Na figura em anexo, AÔB e BÔC são ângulos adjacentes.

Ângulos opostos pelo vértice

Consideremos duas retas concorrentes cuja interseção seja o ponto O. Estas retas determinam quatro ângulos. Os ângulos que não são adjacentes são opostos pelo vértice.

Na figura acima, AÔB e CÔD são ângulos opostos pelo vértice e também AÔD e BÔC são ângulos opostos pelo vértice.

Ângulos congruentes

A congruência entre ângulos é uma noção primitiva. Dizemos que dois ângulos são congruentes se, superpostos um sobre o outro, todos os seus elementos coincidem.

Na figura em anexo, temos que ABC e DEF são ângulos congruentes. Usamos a notação   para denotar ângulos congruentes. Dois ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes.

Medida de um ângulo

A medida de um ângulo indicada por m(AÔB) é um número real positivo associado ao ângulo de tal forma que satisfaz as segintes condições:

1.     Ângulos congruentes possuem medidas iguais e reciprocamente ângulos que possuem medidas iguais são congruentes.

AÔB DÊF equivale a  m(AÔB)=m(DÊF)

2.     Quando afirmamos que um ângulo é maior do que outro, sua medida é maior do que a medida deste outro. Assim: AÔB>DÊF, equivale a

m(AÔB) > m(DÊF)

3.     A partir de dois ângulos dados, podemos obter um terceiro ângulo, cuja medida corresponde à soma das medidas dos ângulos dados.

Se m(AÔB) é a medida de AÔB e m(BÔC) é a medida de BÔC, então AÔC AÔB+BÔC. Além disso:

m(AÔC) = m(AÔB) + m(BÔC)

Alguns ângulos especiais

Com relação às suas medidas, os ângulos podem ser classificados como: reto, agudo, obtuso e raso.

Ângulo	Características	Gráfico
agudo	Ângulo cuja medida é maior do que 0 graus e menor do que 90 graus. Ao lado temos um ângulo de 45 graus.
reto	Um ângulo reto é um ângulo cuja medida é exatamente 90º. Assim os seus lados estão localizados em retas perpendiculares.
obtuso	É um ângulo cuja medida está entre 90 graus e 180 graus. Na figura ao lado temos o exemplo de um ângulo obtuso de 135 graus.
raso	Ângulo que mede exatamente 180º, os seus lados são semi-retas opostas. Neste caso os seus lados estão localizados sobre uma mesma reta.

O ângulo reto (90º) é provavelmente o ângulo mais importante, pois o mesmo é encontrado em inúmeras aplicações práticas, como no encontro de uma parede com o chão, os pés de uma mesa em relação ao seu tampo, caixas de papelão, esquadrias de janelas, etc...

Um ângulo de 360 graus é o ângulo que completa o círculo. Após esta volta completa este ângulo coincide com o ângulo de zero graus mas possui a grandeza de 360 graus (360 º).

Observação: É possível obter ângulos maiores do que 360º mas os lados destes ângulos coincidirão com os lados dos ângulos menores do que 360º na medida que ultrapassa 360º. Para obter tais ângulos basta subtrair 360º do ângulo até que este seja menor do que 360º.

Por exemplo um ângulo de 400º é equivalente a um ângulo de 40º pois: 400º-360º=40º.

Subdivisões do grau

Em problemas reais, os ângulos nem sempre possuem medidas associadas a números inteiros, assim precisamos usar outras unidades menores como minutos e segundos. A notação para 1 minuto é 1' e a notação para 1 segundo é 1".

Unidade de ângulo	Número de subdivisões	Notação
1 ângulo reto	90 graus	90º
1 grau	60 minutos	60'
1 minuto	60 segundos	60"

1 grau    = 1 ângulo reto dividido por 90.

1 minuto  = 1 grau dividido por 60.

1 segundo = 1 minuto dividido por 60.

Espero que tenham gostado, vídeo de amanhã explicando tudo isso. Beijinhos.