MATEMÁTICA 2 - MÓDULO 4 - Multiplicação e Divisão de ângulos

Multiplicação e Divisão de Ângulos

Multiplicação:

2 x (45°80’ 72’’)= 90° 160’ 144’’        

Veja: Como o número de segundos e o de minutos são maiores do que 60, temos que transformá-los  em menores que 60.

144’’-60’’= 84’’ continua sendo maior que 60, por isso deve continuar a subtrair por 60 até que o resultado seja menor que 60.

84’’ – 60’’= 24’’ Agora o resultado foi menor que 60.

Somamos 2’ aos 160’ e ficará 162’

Usaremos o mesmo processo usado a cima.

162’ – 60’= 102’- 60’= 42’

Somamos 2° aos 90° e ficará 92°

Resultado: 92° 24’ 42’’ 

Divisão:


Dividimos os graus, os minutos e os segundos pelo número. Devemos considerar que os diferentes restos obtidos terão de ser previamente transformados na unidade inferior. 

Realizar a divisão de 356° 13' 38' por 12: O resultado final será: 29° 41' 8' e 2' de resto. 

MATEMÁTICA 1- MÓDULOS 9,10,11 - Exercícios

01)Considerando que p(x) = 2x³ – kx² + 3x – 2k, para que valores de k temos p(2) = 4? 

02)Determine o valor de a e b no polinômio p(x) = x³ + ax² + (b – 18)x + 1, sabendo que 1 é raiz do polinômio e p(2) = 25.

03)Temos que a raiz do polinômio p(x) = x² – mx + 6 é igual a 6. Calcule o valor de m.

04)Determine A, B e C na decomposição

 05)Calcule os valores de a, b e c para que o polinômio  p(x) = a(x + c)³ + b(x + d) seja idêntico a p(x) = x³ + 6x² + 15x + 14.

06)Determine m Є R para que o polinômio p(x) = (m − 4)x³ + (m² – 16)x² + (m + 4)x +4 seja de grau 2.

07)Calcule os valores de m, n e l para os quais o polinômio p(x) = (2m – 1)x³ – (5n – 2)x² + (3 – 2l) é nulo.

08)Sendo p(x) = ax⁴ + bx³ + c e q(x) = ax³ – bx – c, determine os coeficientes a, b e c, sabendo que p(0) = 0, p(1) = 0 e q(1) = 2.

09)Quais são os valores de a e b considerando p(x) = – 4x³ + ax² + bx –18, onde 2 é raiz de p(x) e p(–1) = –18.

MATEMÁTICA 1 - MÓDULOS 9,10,11 - Vídeo - aulas

                                Polinômios aula 01 operações

 Polinômios aula 02 - divisão polinomial

MATEMÁTICA 1 - MÓDULO 9,10,11 - Polinômios

O QUE É POLINÔMIO?

Polinômios são expressões algébricas formadas pela adição de monômios. Ambos são constituídos por números conhecidos e números desconhecidos. Antes de partirmos para as operações matemáticas que envolvem os polinômios, precisamos entender melhor alguns conceitos. Vamos lá?

→ O que são monômios?

Monômios são constituídos pelo produto entre números conhecidos e incógnitas (números desconhecidos comumente representados por letras). Divisões por incógnitas não são consideradas monômios, mas são chamados de frações algébricas.

Exemplos:

a) 4x

b) 7xy²

O número conhecido é chamado de coeficiente, e o restante do monômio é chamado de parte literal. Caso seja analisado dentro de um polinômio, o monômio também é chamado de termo. Um termo geralmente é reconhecido não por isso, mas por sempre ser separado por somas e subtrações. Quando a parte literal de dois ou mais monômios é igual, dizemos que eles são monômios semelhantes.

→ Exemplos de polinômios

Como dito anteriormente, qualquer expressão algébrica formada pela adição de monômios é chamada de polinômio. Dessa maneira, seguem os exemplos de polinômios:

a) 4xy + 2x + 7yw

b) 4x⁴ – x² + 60x – 7

→ Adição e subtração de polinômios

Reescreva os polinômios colocando termos semelhantes lado a lado. Some ou subtraia esses termos da mesma maneira que nos monômios. Veja um exemplo:

Já a subtração de polinômios envolve a propriedade distributiva da multiplicação e modifica todos os sinais do segundo polinômio. Somente depois de realizar esse jogo de sinais é que podemos continuar com a subtração. Observe:

→ Multiplicação de polinômios

A multiplicação de polinômios é totalmente fundamentada na propriedade distributiva mais conhecida como chuveirinho. Para tanto, basta multiplicar cada monômio do primeiro polinômio por todos os monômios do segundo, observando os sinais dos resultados. Por exemplo:

→ Divisão de polinômios

Para dividir dois polinômios, utilize o método chave, exatamente como é feito para números inteiros. Observe o exemplo:

Na divisão do polinômio P(x) = x³ + 7x² + 15x + 9 pelo polinômio D(x) = x + 1, P(x) é o dividendo, D(x) é o divisor e o resultado Q(x) é quociente e é obtido da seguinte maneira:

Primeiramente, procure um monômio que, multiplicado pelo termo de grau mais alto de D(x), tenha o termo de grau mais alto de P(x) como resultado. Esse monômio é x².

Encontrando-o, multiplique-o por D(x) e coloque o resultado sob P(x), exatamente como se faz na divisão de números inteiros. Observe:

Lembre-se de que esse resultado deve ser subtraído de P(x), por isso, os sinais do resultado da multiplicação anterior devem ser trocados.

  

Feito isso, realize a subtração e “desça” todos os termos que não forem subtraídos:

      

Repita o procedimento até que o resto possua grau menor que D(x).

MATEMÁTICA 2 - MÓDULO 3 - Exercícios

01)Efetue as operações indicadas:

a) 13° 12' + 41° 10' 20''

b) 35° 20' - 10° 15' 30''

c) 90° - 37° 40' 20''

d) 34° 51' 12'' + 12° 10' 50''

e) 180° - 54° 12' 49''


03)Determine o valor das expressões, na forma mais simplificada possível:

a) 15° 12' 35'' + 27° 18' + 13° 51' 30''
b) (50° - 15° 20' )
c)  (18° 15' + 30° 27' 40'' ) - 81° 17' 30''

04) Calcule as somas:

a) 49° + 65° 

b) 12° 25´ + 40° 13´ 

c) 28° 12´ + 52° 40´ 

d) 58°  + 17° 19´ 

e) 41° 58´ +  16°  

05) Calcule as medidas dos ângulos:

a) 25° 40´ + 16° 50´ 

b) 23° 35´ + 12° 45´ 

c) 21° 15´40" + 7° 12´5" 

d) 35° 10´50"  +  10° 25´20"  

e) 31° 45´50" + 13° 20´40"  

f) 3° 24´9" + 37° 11´33" 

g) 35° 35´2" + 22° 24´58" 

06) Calcule as diferenças:

a) 42° - 17°

b) 172° - 93°

c) 48° 50´ - 27° 10´ 

d) 42° 35´  -  13° 15´ 

07) Subtraia os ângulos:

a) 70° - 22° 30´ 

b) 30° - 18° 10´

c) 90° - 54° 20´ 

d) 120° - 50°45´ 

e) 52°30´ - 20°50´ 

f) 39° 1´ - 10°15´ 

MATEMÁTICA 2 - MÓDULO 3 - Vídeo - aulas

            Operações Matemáticas 06 Soma e Subtração de Ângulos

  

MATEMÁTICA 2 - MÓDULO 3 - Adição e Subtração de Ângulos

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ÂNGULOS

Denominamos por ângulo a abertura formada por duas semirretas que possuem a mesma origem.

A unidade usual de ângulo é o grau (representado por º), por exemplo:

25º: lê-se vinte e cinco graus.
32º: lê-se trinta e dois graus.
120º: lê-se cento e vinte graus.
90º: lê-se noventa graus.

O grau possui dois submúltiplos: o minuto (representado por ’) e o segundo (representado por ”). Observe:

32’: lê-se trinta e dois minutos.
81’: lê-se oitenta e um minutos.
15”: lê-se quinze segundos.
45”: lê-se quarenta e cinco segundos. 

Temos que 1º (um grau) corresponde a 60’ (sessenta minutos) e 1’ (um minuto) corresponde a 60” (sessenta segundos). Por exemplo, observe as transformações a seguir:

2º em minutos: 2 * 60 = 120’
12’ em segundos: 12 * 60 = 720”
3600’’ em minutos: 3600 : 60 = 60’
90000” em graus: 90000 : 60 = 1500’ e 1500 : 60 = 25º

Observação:

Tabela de conversões

Adição

Dado os ângulos de 6º 25’ 36” e 4º 40’ 30”, a soma entre eles é:

O resultado da soma é 10º 65’ 66”, porém podemos apresentar o resultado de uma outra forma. Acompanhe a demonstração:

No ângulo de medida 10º 65’ 66”, temos que 65’ = 60’ + 5’ = 1º + 5’ e 66” = 60” + 6” = 1’ + 6”. Dessa forma, 10º 65’ 66” = 11º 6’ 6”.

Subtração

Dados os ângulos 54º 16’ 32” e 27º 18’ 40”, a subtração entre eles é: 

Observe que existem valores no minuendo que são menores dos que os valores do subtraendo, quando isso acontece na subtração temos que tirar do valor da esquerda completando o que está menor.

Ao retirarmos 1’ de 16’ ficaremos com 15’, sendo que 1’ = 60” o qual deve ser somado a 32” resultando em 92”.

Agora devemos retirar 1º de 54º que será igual à 53º, considerando que 1º = 60’, temos 60’ + 15’ = 75’. Portanto:

O resultado da subtração é igual a 26º 57’ 52”.

MATEMÁTICA 1- MÓDULO 5,6,7,8 - Exercícios

01)  Faça o agrupamento dos monônimos abaixo:

a)3ax + 5bx – 12 ax – 15 bx + 4x =

b) 15y – 4z + 3x + 12y – 20z =

c) 24aw + 6x – 12aw – 6x =

02)  Resolva as adições de monômios abaixo:

a)  15ax + 6ax =

b)  1by/2 + 15by /6=

c) 32cz³ + 24cz³ =

03) Resolva as subtrações abaixo:

a) 25x –42x=
               3
b) – 102ax² + 202ax² =

c) 12by – 7by =

04) Utilizando o agrupamento, resolva as expressões numéricas abaixo:

a)2x² + 20y³ – 15y³ – 36x² =

b) 6x² –7x² +28x² =
              10

05) Determine o resultado das seguintes somas:

a)7x+2x+x7x+2x+x

b)14y−19y14y−19y

c)−2xy−xy+6xy

06) Um monômio semelhante a −99a2b−99a2b é

a) 9a2b9a2b
b) −9ab2−9ab2
c) −99ab2−99ab2
d) 99ab

07)  Calcule:

a) ( + 3x²)² =

b) (-8x⁴)² =

c) (2x⁵)³ =

d) (3y²)³ =

08) Resolva:

a) √4x⁶ =

b) √x²y⁴ =

c) √36c⁴ =

d) √81m² =

e) √25x¹² =

09) Calcule:

a)(15x⁶) : (3x²) =

b) (16x⁴) : (8x) =

c) (-30x⁵) : (+3x³) =

d) (+8x⁶) : (-2x⁴) =

10) Calcule:
a) (+5x) . (-4x²) = 

b) (-2x) . (+3x) =

c) (+5x) . (+4x) =

d) (-n) . (+ 6n) = 

MATEMÁTICA 1 - MÓDULOS 5,6,7,8 - Vídeo - Aulas

                                       Monômios- Aula 1- Adição e subtração

Multiplicação de monômios - Aula 2

Monômios- Aula 3- Divisão de monômios

MATEMÁTICA 1 - MÓDULO 5,6,7,8 - Monômios

Monômios

Monômio ou termo algébrico é toda expressão algébrica determinada por apenas um número real, uma variável ou pelo produto de números e variáveis. Nos monômios não se encontra o uso da adição ou da subtração, pelos menos explicitamente. São muitas as aplicações dos conceitos sobre monômios, vão desde a confecção de objetos, como uma bola de futebol, até o auxílio em representações de cálculos bem mais complexos.

Monômios

Não Monômios

Partes de um monômio

Um monômio é dividido em duas partes, um número, que é o coeficiente do monômio e uma variável ou o produto de variáveis (letras), inclusive suas potências, caso existam.

• 2x → 2 é o coeficiente desse monômio e x é sua parte literal;
• 3xy² → 3 é o coeficiente desse monômio e xy² é sua parte literal;
• wz → 1 é o coeficiente  desse monômio e wz é sua parte literal.

Grau de um monômio

Para um monômio com coeficientes não nulos, temos que seu grau se dará através da soma entre os expoentes da parte literal.

• 1/2x²y³z⁴ → esse é um monômio do 9º grau (2 + 3 + 4 = 9);
• bcd → esse é um monômio do 3º grau (1 + 1 + 1+ = 3).
• 25 → esse é um monômio de grau zero (ausência da parte literal);
• Entre os monômios 2x², 1/3x³ e 0,5x⁵ o de maior grau é 0,5x⁵, pois 5 > 2 > 1/3.

Pode-se também atribuir o grau de um monômio em relação a uma de suas incógnitas. Para isso é necessário fazer menção a incógnita considerada. Vejam nos exemplos:

• ab² → esse é um monômio do 2º grau em relação a variável b;
• wz³ → esse é um monômio do 1º grau em relação a variável w;
• 4 → esse é um monômio de grau zero pela ausência de variável (eis).

Semelhança entre monômios

Dois ou mais monômios são semelhantes quando suas partes literais são iguais.

• 3xy e 2/5xy são iguais, pois possuem a mesma parte literal xy;
• 0,5a³b² e 10a³b² são iguais, pois possuem a mesma parte literal a³b²;
• - 4vwz, 2,3vwz e 1/3vwz são iguais, pois possuem a mesma parte literal vwz.

Adicionando e/ou subtraindo monômios

Na adição de monômios com a mesma parte literal, adicionaremos os coeficientes entre si e manteremos a parte literal.

• 2mn + 14mn + 5mn = 21mn (2 + 14 + 5 = 21);
• 2,5 x²y + 1,5x²y – 0,5x²y = 3,5x²y (2,5 + 1,5 – 0,5 = 3,5);
•  3/2cd³ – 1/2cd³ + 5/2cd³ = 7/2cd³ (3/2 – 1/2 + 5/2 = 7/2).

Um refrigerante custa x reais. Márcio comprou 3 refrigerantes, Aline comprou 2, Poliana comprou 4 e Arthur comprou 1. Qual é o monômio que representa quanto essas pessoas gastaram? → 3 + 2 + 4 + 1 = 10, portanto 10x.

Multiplicação de monômios

Antes de prosseguirmos nesse tópico, devemos relembrar uma propriedade muito importante da potenciação.

a^m . aⁿ = a^m+n

Na multiplicação de monômios, multiplicamos entre si os coeficientes, assim como, a parte literal.

• 6x²y . 2x⁴ . 3y → 6.2.3 = 36 e x².x⁴.y.y = x⁶y², ou seja, 36x⁶y²;
• 4abc⁴ . 4ab²c → 4.4 = 16 e a.a.b.b².c⁴.c = a²b³c⁵, ou seja, 16a²b³c⁵;
• 1/2wz . 2/3z → 1/2.2/3 = 2/6 ou 1/3 e w.z.z = wz², ou seja, 1/3wz².

Divisão de monômios

Convém relembrarmos mais uma propriedade importante da potenciação.

a^m : aⁿ = a^{m – n}

Na divisão de monômios, dividimos entre si os coeficientes, bem como, a parte literal.

• 12x⁴y : 3x²y → 12:3 = 4, x⁴:x² = x² e y:y = 1, ou seja, 4x²;
• 50b⁶c⁸d⁴ : 25b²c⁴d⁴ → 50:25 = 2, b⁶:b² = b⁴, c⁸:c⁴ = c⁴ e d⁴:d⁴ = 1, ou seja, 2b⁴c⁴;
• 4mn¹⁰ : mn² → 4 : 1 = 4, m:m = 1 e n¹⁰:n² = n⁸, ou seja, 4n⁸.

Potenciação de monômios

Antes de darmos continuidade ao tema, vale lembrar as seguintes propriedades da potência a fim de facilitarmos o cálculo de potências de monômios.

(a^m)ⁿ = a^m.n                                     (a . b)^m = a^m . b^m

• (4x³)² → 4² = 16 e x^3.2 = x⁶, ou seja, 16x⁶;
• (-3 . wz³)³ → (-3)³ . w^1.3 . z^3.3 = -27w³z⁹;
• Encontrar o quadrado do monômio -11a⁴ → (-11a⁴)² = (-11)² . a^4.2 = 121a⁸.