Capítulo 7 - Proporcionalidade

Proporcionalidade

Definimos por grandeza tudo aquilo que pode ser contado e medido, como o tempo, a velocidade, comprimento, preço, idade, temperatura entre outros. As grandezas são classificadas em: diretamente proporcionais e inversamente proporcionais. 

Grandezas diretamente proporcionais 

São aquelas grandezas onde a variação de uma provoca a variação da outra numa mesma razão. Se uma dobra a outra dobra, se uma triplica a outra triplica, se uma é divida em duas partes iguais a outra também é divida à metade. 

Exemplo 1 

Se três cadernos custam R$ 8,00, o preço de seis cadernos custará R$ 16,00. Observe que se dobramos o número de cadernos também dobramos o valor dos cadernos. Confira pela tabela: 

Exemplo 2 

Para percorrer 300 km, um carro gastou 30 litros de combustível. Nas mesmas condições, quantos quilômetros o carro percorrerá com 60 litros? E com 120 litros? 

Grandezas inversamente proporcionais 

Uma grandeza é inversamente proporcional quando operações inversas são utilizadas nas grandezas. Por exemplo, se dobramos uma das grandezas temos que dividir a outra por dois, se triplicamos uma delas devemos dividir a outra por três e assim sucessivamente. A velocidade e o tempo são considerados grandezas inversas, pois aumentarmos a velocidade, o tempo é reduzido, e se diminuímos a velocidade, o tempo aumenta. 

Exemplo 3 

Para encher um tanque são necessárias 30 vasilhas de 6 litros cada uma. Se forem usadas vasilhas de 3 litros cada, quantas serão necessárias? 

Utilizaremos 60 vasilhas, pois se a capacidade da vasilha diminui, o número de vasilhas aumenta no intuito de encher o tanque. 



As duas grandezas são muito utilizadas em situações de comparação, isto é comum no cotidiano. A utilização da regra de três nos casos envolvendo proporcionalidade direta e inversa é de extrema importância para a obtenção dos resultados.

Capítulo 6 - Exercícios

EXERCÍCIOS

 

1) Classifique os ângulos apresentados nas figuras em agudos, obtusos ou reto:

]

2) Identifique na figura:

 3) Responda:

a) O menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 3 horas é um ângulo agudo, reto ou obtuso?                                                                                       

b) O menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 2 horas é um ângulo agudo,reto ou obtuso?                                                                            

c) O menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 5 horas é um  ângulo é um ângulo agudo, reto ou obtuso?                                                               

4) O esquema a seguir representa um bairro de uma cidade. Observe-o e responda as questões: 

 

A) Escreva o nome de duas ruas paralelas à Rua México. ____________________________     ________________________________________

B) Escreva o nome de duas ruas perpendiculares à Rua França. ________________________

 ________________________________________

 C) O nome de uma rua concorrente à Rua Brasil._________________________________

5) Desenhe os ângulos pedidos em cada item. 

a)    Ângulo reto.                        b) Ângulo agudo.                           c) Ângulo obtuso.

                                   

6) Observe os relógios a seguir e responda às questões: 

 a) Em qual relógio os ponteiros formam um ângulo reto? ____________________________

b) Em qual relógio os ponteiros formam um ângulo agudo? ___________________________

c) Em qual relógio os ponteiros formam um ângulo obtuso?__________________________

7) Calcule o valor do ângulo X em cada imagem: 

                  

8) O gráfico de colunas representa o tempo do banho, em minutos, uma família com sete pessoas, sendo 3 meninas (A,B,C), 2 meninos (D,E), mãe (M) e pai (P).

Qual o tempo total de banho das mulheres da casa?  

a) 55 minutos.

b) 70 minutos.

c) 1 hora e 5 minutos.

d) 1 hora e 15 minutos.

Capítulo 6 - Vídeo-Aulas

Ferretto Matemática:

Capítulo 6 – Geometria : Ângulos e Polígonos

Capítulo 6 – Geometria : Ângulos e Polígonos

 Ângulos

Denominamos ângulo a região do plano limitada por duas semirretas de mesma origem. As semirretas recebem o nome de lados do ângulo e a origem delas, de vértice do ângulo.

A unidade usual de medida de ângulo, de acordo com o sistema internacional de medidas, é o grau, representado pelo símbolo º, e seus submúltiplos são o minuto ’ e o segundo ”.

Temos que 1º (grau) equivale a 60’ (minutos) e 1’ equivale a 60”(segundos).

O objeto capaz de medir o valor de um ângulo é chamado de transferidor, podendo ele ser de “meia volta” (180º) ou volta inteira (360º).

Classificação de ângulos 

Os ângulos são classificados de acordo com suas medidas:

Agudo: ângulo com medida menor que 90º.
Reto: ângulo com medida igual a 90º.
Obtuso: ângulo com medida maior que 90º.
Raso: ângulo com medida igual a 0º ou 180º.

                       agudo                             reto                               obtuso                                            raso
                                                                                                    

Bissetriz de um ângulo

Bissetriz de um ângulo pode ser definida como a semirreta que se origina no vértice do ângulo principal, dividindo-o em outros dois ângulos com medidas iguais.

 Polígonos 

Polígonos são figuras fechadas formadas por segmentos de reta e são caracterizados pelos seguintes elementos: ângulos, vértices, diagonais e lados. De acordo com o número de lados, a figura é nomeada.

Classificação dos polígonos:

Lados/Nomes:

3: Triângulo

4: Quadrilátero

5: Pentágono

6: Hexágono

7: Heptágono

8: Octógono

9: Eneágono

10: Decágono

11: Hendecágono ou Undecágono

12: Dodecágono

...

Polígonos convexos e não convexos

Se os ângulos do polígono forem menores que 180º, ele será convexo.

Caso tenha um ângulo com medida maior que 180º, ele será não convexo ou côncavo.

A soma dos ângulos internos de qualquer polígono depende do número de lados (n). É usada a seguinte expressão para o cálculo: S = (n – 2)*180, em que n é o número de lados.

A soma dos ângulos externos de qualquer polígono sempre é 360º, haja vista que, quanto maior o número de lados do polígono, mais ele se assemelha a uma circunferência (possui giro completo igual a 360º).

Essa figura é um icoságono (20 lados). Note a semelhança com a circunferência

Polígono regular e irregular

Todo polígono regular possui os lados e os ângulos com medidas iguais. Alguns exemplos de polígonos regulares.

Um polígono irregular é aquele que não possui os ângulos com medidas iguais e os lados não possuem o mesmo tamanho.

Diagonais de um polígono

A diagonal de um polígono é o segmento de reta que liga um vértice ao outro, passando pelo interior da figura. O número de diagonais de um polígono depende do número de lados (n) e pode ser calculado pela expressão:

d = n (n – 3)
     2

Capítulo 5 - Exercícios

Exercícios de Equações de 1º Grau Com Duas Incógnitas

1) Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são esses?     2) Resolva as equações a seguir: a)18x - 43 = 65 b) 23x - 16 = 14 - 17x c) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) - 20  3) Determine um número real "a" para que as expressões (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam iguais.       4) Resolver as seguintes equações (na incógnita x): a) 5/x - 2 = 1/4x b) 3bx + 6bc = 7bx + 3bc 5) Resolver as equações abaixo:  a) 10x + 16 = 14x + 8 b) 2(x -3) = - 3(x - 3) c) 4(5x -3) - 64(3 -x) - 3(12x - 4) =96 d) 5(x +1) + 6(x + 2) = 9(x + 3)

Capítulo 5 - Vídeo-Aulas

Canal: Marcos Aba Matemática

Marcos aba ensina a lidar com Equação do primeiro grau com duas variáveis (duas incógnitas).
Outros temas abordados Equação, letras, variáveis, incógnitas e etc.

Capítulo 5 - Equação de Primeiro Grau Com Duas Incógnitas

Equação de Primeiro Grau Com Duas Incógnitas

Equação do 1° grau com duas incógnitas, é qualquer equação que possa ser reduzida à forma ax + by = c, onde x e y são incógnitas e a, b e c são números racionais, com a ≠ 0 e b ≠ 0. a, b e c são coeficientes da equação.

Como também já explicamos no referido tópico, a resolução de problemas de equação do 1° grau com uma incógnita, resume-se a isolarmos a incógnita no primeiro membro, obtendo assim a raiz da equação no segundo membro.

Abaixo temos um exemplo de um problema envolvendo uma equação do 1° grau com duas incógnitas:

"Em minha sapateira tenho sapatos meus e de minha esposa. A sapateira tem capacidade para o armazenamento de 20 pares de sapatos e no momento está lotada. Quantos pares são meus e quantos são de minha esposa?"

Assumindo que a incógnita x represente os meus pares de sapato e

que y represente os pares dela, podemos montar a seguinte equação:

x + y = 20

Resolução de equações do 1° grau com duas incógnitas

Antes mesmo de qualquer explicação você pode intuir que a equação x + y = 20 admite várias soluções.

x = 5 e y = 15 é uma das possíveis soluções, já que a soma de 5 com 15 totaliza 20, o que torna a equação verdadeira.

Como a representação de sapatos é realizada pelo conjunto dos números naturais, já que não faria sentido termos sapatos fracionários ou negativos, por exemplo, temos uma solução para qualquer valor de x entre 0 e 20 inclusive, desde que y seja igual a 20 - x, por exemplo, se x = 8, então y = 12.

Matematicamente podemos fazer a seguinte representação:

S = {x, y ∈ N | x ≤ 20, y = 20 - x}

Com x e y sendo números naturais, temos 21 soluções possíveis para este problema, no entanto se não houvesse a restrição para números fracionários ou negativos, teríamos infinitas soluções, pois qualquer que fosse o valor arbitrado a x, bastaríamos subtrair tal valor de 20, para encontrarmos o correspondente valor de y que tornasse a equação verdadeira, por exemplo, se arbitrarmos -30 a x, temos que y = 50, pois 20 - (-30) = 50.

Regra geral para a resolução de equações do primeiro grau com mais de uma variável

Para que você possa obter uma solução para uma equação do primeiro com duas ou mais incógnitas, você deve atribuir um valor aleatório a todas as incógnitas, exceto a uma.

Os valores atribuídos devem estar contidos no conjunto universo da equação. A partir daí você terá uma equação do primeiro grau com uma incógnita, cuja solução irá compor a solução da equação original, se o valor encontrado estiver contido no conjunto universo da equação.

Veja este exemplo:

2x + 3y - z = 40 , sendo que o conjunto universo é: U = {x, y, z ∈ N}

Como as incógnitas são números naturais, segundo o seu conjunto universo, só podemos atribuir valores inteiros e positivos às variáveis, ou então o número 0. Podemos então arbitrar 10 a x e 20 a y, para então encontrarmos o valor de z. Vejamos: 

Como 40 ∈ N, então uma dentre as infinitas soluções seria: S = {10, 20, 40}

Agora observe o que aconteceria se tivéssemos arbitrado 3 a x e 5 a y:

Note que -19 não é um número natural, portanto {3, 5, -19} não está contido no conjunto universo desta equação e por isto não pode ser sua solução.